「対数スケール」と聞いても、数学が得意でなければ、何のことかわからないかもしれません。私も、こうした言葉を見ただけでは、すぐには意味が入ってきません。
そこでこの記事では、難しい数式を覚えることよりも、指数関数と対数関数の基本的な考え方を知り、「対数スケールとは、普通の数字の見方と何が違うのか」を理解することを目指します。
※この記事は、デヴィッド・R・ホーキンズ博士の「意識のマップ」で使われている対数スケールを理解するための補助記事です。ここでは数学的な仕組みを説明するものであり、「意識のマップ」の数値が科学的に検証されていることを意味するものではありません。
まず、「1ずつ増える」と「2倍になる」は違う
最初に、数字の増え方について考えてみましょう。
例えば、1から始めて、毎回1ずつ増やしていくと、数字は次のように並びます。
1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6
これはわかりやすいですね。どの段階でも、前の数字より1だけ大きくなっています。
では、今度は1から始めて、毎回2倍にしてみます。
1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32
こちらは、進むにつれて数字の増え方が大きくなっています。1から2になるときは1しか増えていませんが、16から32になるときには16も増えています。それでも、どちらも前の数字の2倍になっているという点では同じです。
つまり、数字の変化には、「いくつ増えたのか」という差に注目する見方と、「何倍になったのか」という倍率に注目する見方があります。
この違いを理解しておくと、指数や対数の考え方がわかりやすくなります。
指数関数と対数関数とは何か
まず、指数について考えてみましょう。例えば、2を繰り返し掛けると、次のようになります。
2 × 2 = 4
2 × 2 × 2 = 8
2 × 2 × 2 × 2 = 16
数学では、これらを次のように表します。
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16
右上にある小さな数字が「指数」です。ここでは、2を何回掛け合わせたのかを表しています。
そして、指数の部分を変化させることで、その結果がどのように変わるのかを表すものが指数関数です。例えば、2を基準にした指数関数では、指数が1増えるたびに結果が2倍になります。
2⁰ = 1
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16
指数が0、1、2、3、4と1ずつ増える一方で、結果は1、2、4、8、16と2倍ずつ大きくなっていきます。これが、指数関数の基本的な増え方です。
では、対数とは何でしょうか。
対数は、この関係を反対側から考えるものです。先ほど、2を3回掛けると8になることを確認しました。
2³ = 8
ここで、「2を何回掛け合わせれば8になるのか」と考えてみます。答えは3ですね。この3という指数を求めるのが、対数の考え方です。
数学では、次のように表します。
log₂ 8 = 3
これは、「2を何乗すれば8になるか」という問いに対する答えが3であることを意味しています。
指数関数が「2を3乗すると、いくつになるか」を考えるのに対して、対数関数は「8になるためには、2を何乗すればよいか」を考えます。
つまり、指数関数と対数関数は、互いに反対の関係にあります。難しい式を覚えなくても、まずは同じ関係を異なる方向から見ているのだと理解しておけば十分です。
対数スケールとは何か
ここまでの考え方を使うと、対数スケールも理解しやすくなります。
例えば、次の数字を見てください。
1 → 10 → 100 → 1,000 → 10,000
数字そのものは急激に大きくなっています。1から10への差は9ですが、1,000から10,000への差は9,000もあります。
しかし、倍率に注目すると、少し違った見え方になります。1から10も、10から100も、100から1,000も、1,000から10,000も、すべて10倍の変化です。
つまり、数字の差は大きく異なっていても、倍率は同じなのです。
ここで、10を何乗すればそれぞれの数字になるのかを考えてみましょう。
10⁰ = 1
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1,000
10⁴ = 10,000
指数は0、1、2、3、4と1ずつ増えています。この関係を利用すると、1、10、100、1,000、10,000という数字を、同じ間隔で並べることができます。
これが、対数スケールの基本的な考え方です。
普通の物差しでは、数字が同じだけ増えたときに、同じ間隔になります。例えば、1、2、3、4、5という数字は、それぞれ1ずつ増えているため、等間隔に並びます。
一方、対数スケールでは、数字が同じ倍率で変化したときに、同じ間隔になります。10倍ずつ増える対数スケールであれば、1、10、100、1,000、10,000を等間隔に並べられるのです。
普通の物差しは、数字の「差」を基準にします。対数スケールは、数字の「倍率」を基準にします。
この違いが、対数スケールを理解するうえで最も重要なところです。
なぜ、対数スケールを使うのか
では、なぜわざわざ、このような数字の見方をするのでしょうか。
大きな理由の一つは、数値の大きさが極端に異なるものを比較しやすくするためです。
例えば、1から10,000までの数字を普通の物差しに並べると、1や10、100といった数字は、10,000と比べて非常に小さくなります。そのため、小さい数字の違いが見えにくくなってしまいます。
しかし、対数スケールを使えば、1、10、100、1,000、10,000という段階を同じ間隔で表すことができます。数字の大きさが大幅に異なっていても、それぞれの変化を捉えやすくなるのです。
このような考え方は、音の大きさを表すデシベルや、地震の規模を表すマグニチュードなどにも使われています。どちらも単純に数字の差だけを見るのではなく、対数を利用することで、大きな範囲の変化を扱いやすくしています。ただし、それぞれの尺度で使われる計算方法や、数値の増加が意味する倍率は同じではありません。
ここまでを振り返ると、指数関数は、指数が一定の幅で増えると結果が一定の倍率で変化する関係を表します。対数関数は、その反対に、ある数字になるためには何乗すればよいのかを表します。そして対数スケールは、その対数の考え方を利用して、同じ倍率の変化を同じ間隔で表すものです。
例えば、1、10、100、1,000、10,000という数字は、差だけを見れば均等ではありません。しかし、すべて10倍ずつ増えているため、対数スケールでは等間隔に並べることができます。
「数字の差を見る物差し」と「倍率を見る物差し」は違う。
まずは、この感覚がわかれば十分です。
そのうえで、デヴィッド・R・ホーキンズ博士の「意識のマップは対数スケールである」という説明を読むと、普通の数字が等間隔に並んでいる尺度とは、そもそも数字の読み方が異なるということが理解しやすくなるでしょう。
